近來, 小弟在『神魔之塔』幫小怪升等的時候.
就想著, 累積經驗能否以數式表示?
於是乎就開始收集數據, 如下:
有關差分和二重差分的介紹, 可參看這裡︰「柏努利公式」和古代的「招差術」
其實看到二重差分不是常數, 就知道只能以估算方法處理:
f(n) = 0*C(n-1, 0)+53*C(n-1, 1)+104*C(n-1, 2)
(注︰C(n, r) = n! / r! (n-r)! )
然後就會得到 f(n) = 52n^2-103n+51 作為初始的估算公式.
甚麼? 這不就是高一的?一元二次公式 , Quadratic Equation?!?
可能你會問, 既然你都收集了15級的數據, 還要公式來幹什麼?
實際情況是, 這遊戲中不只是15級, 還是接著下來的99級.
還是, 這只是基數, 不同的小怪有不同的倍數(暫時已知有兩~六, 八 和 十倍)
如果單靠這初始估算式, 到兩倍的39級已有一百以上的誤差
(39級的估算累經: 150252, 39等的實際累經:150355)
而且, 等級越大 或 倍數越大, 誤差亦會越大 (約1%)
作為一個數學人, 當然是想辦法修正這誤差.
修正的念頭徘徊在腦海中約一星期.
直到留意到:
(1) 在17級前的數值是估算大於實際
(2) 在17級後的數值是估算小於實際
(3) 剛巧, 在17級的數據是估算=實際
於是, 想起以前學過 圓族, Family of Circles
那課是說, 如果有兩圓C1 , C2 相交與兩點,
那其餘穿過該兩點的圓形皆能以 C1 ?和 C2 的 方程來表達.
假設C1和C2的方程分別為 f(x,y) = 0 及 g(x,y)=0
那麼, 通過該兩點的某圓的分別為 f(x,y)+k*g(x,y)=0
(注︰如果f(x,y)和g(x,y)中的x^2 , y^2 互相抵消的話, 該方程的圖象為穿過該兩點的一直線, 數學上會稱之為 公共弦, common chord )
現在的情況很類似, 只不過是把圓形換成拋物線而已.
於是, 我依樣葫蘆地作以下嘗試:
初始估算方程, f(n,y) = 52n^2-103n+51 - y = 0
穿過1級和17級數據的直線, g(n,y) = 833(n-1) - y = 0
f(n,y)+k*g(n,y)=0, 再慢慢調整k的數值及以四捨五入方式處理,
終於得出更進一步的估算公式(感動T^T):
? h(n) = 52.0614n^2 - 104.105n + 52.0431 (需四捨五入)
其後更用手上的五倍, 直到50級的數據加以證實呢:
五倍經驗系列 | ||
估算 | 實際 | 差距 |
0 | 0 | 0 |
260 | 261 | 1 |
1041 | 1042 | 1 |
2343 | 2343 | 0 |
4165 | 4165 | 0 |
6508 | 6508 | 0 |
9372 | 9372 | 0 |
12756 | 12756 | 0 |
16660 | 16660 | 0 |
21086 | 21085 | -1 |
26032 | 26031 | -1 |
31498 | 31498 | 0 |
37485 | 37485 | 0 |
43993 | 43993 | 0 |
51021 | 51021 | 0 |
58570 | 58570 | 0 |
66640 | 66639 | -1 |
75230 | 75230 | 0 |
84341 | 84340 | -1 |
93972 | 93972 | 0 |
104125 | 104124 | -1 |
114797 | 114796 | -1 |
125990 | 125990 | 0 |
137704 | 137704 | 0 |
149939 | 149938 | -1 |
162694 | 162693 | -1 |
175970 | 175969 | -1 |
189766 | 189765 | -1 |
204083 | 204082 | -1 |
218921 | 218920 | -1 |
234279 | 234278 | -1 |
250158 | 250157 | -1 |
266557 | 266556 | -1 |
283477 | 283476 | -1 |
300918 | 300917 | -1 |
318879 | 318878 | -1 |
337361 | 337360 | -1 |
356363 | 356362 | -1 |
375886 | 375886 | 0 |
395930 | 395929 | -1 |
416495 | 416494 | -1 |
437579 | 437579 | 0 |
459185 | 459184 | -1 |
481311 | 481310 | -1 |
503958 | 503957 | -1 |
527125 | 527125 | 0 |
550813 | 550813 | 0 |
575022 | 575021 | -1 |
599751 | 599751 | 0 |
625001 | 625000 | -1 |
數學無處不在, 當你在發掘的途中, 可能是個很好玩的經歷呢
等級
|
累經
|
差分
|
二重差分
|
1
|
0
|
53
|
103
|
2
|
53
|
156
|
104
|
3
|
209
|
260
|
104
|
4
|
469
|
364
|
105
|
5
|
833
|
469
|
104
|
6
|
1302
|
573
|
104
|
7
|
1875
|
677
|
103
|
8
|
2552
|
780
|
105
|
9
|
3332
|
885
|
105
|
10
|
4217
|
990
|
103
|
11
|
5207
|
1093
|
104
|
12
|
6300
|
1197
|
105
|
13
|
7497
|
1302
|
104
|
14
|
8799
|
1406
|
|
15
|
10205
|
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